با دقت در رابطه­ (‏۳‑۳۵)، درمی­یابیم همان معادله­ SDRE می­باشد با رجوع به معادله­ ریکاتی معمولی ملاحظه می­ شود؛ که فرق اصلی این معادله با آن، در وابستگی این معادله به متغیر حالت می­باشد. حال با توجه به روابط (‏۳‑۱۳)، (‏۳‑۲۴)، (‏۳‑۲۶) و (‏۳‑۳۴) خواهیم داشت:

‏۳‑۳۷

بدین ترتیب با حل معادلات (‏۳‑۳۵) و (‏۳‑۳۶) می­توان ورودی کنترلی حلقه بسته را یافت. نکته قابل ذکر دیگر این­ است که در صورتی که به سیستم اغتشاش وارد نشود، همانطور که در بسیاری از کتاب­های کنترل بهینه [۲۶] ذکر شده است عبارتهایی شامل  حذف می­گردد.
در ادامه دو روش تکرار برای حل معادلات SDRE در حالت زمان محدود و نامحدود را بیان می­کنیم.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

روش­های حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE)
در معادله­ ریکاتی معمولی، تنها مجهول P(t) بود. اما برای طراحی سیستمی با اغتشاش که مد نظر در این کار می­باشد، باید دو مجهولP(t) و  را به­دست آوریم. باید برای بدست آوردن این دو در زمان دلخواه، آن­ها را به صورت عقب­گرد^[۸۲] از زمان­های نهایی حل نمود.اما در این­جا ضرایب با توجه به نقطه­ی x که در آن هستیم تغییر می­ کنند. پس برای اجرای فرمان عقب­گرد، به منظور حل معادله­ SDRE، نیاز به مقدار متغیر حالت در هر زمان دلخواه داریم. مشکل از این جا شروع می­ شود که ما تنها مقدار اولیه­ x را داریم. هم­چنین برای به­روزکردن^[۸۳] متغیر حالت نیاز به ورودی می­باشد که خود نیاز به مقدار P و  در زمان مورد نیاز وابسته است. لذا کار برای حل معادلات SDRE به مراتب دشوارتر از معادله­ ریکاتی خواهد شد. تاکنون روش­های متعددی برای حل این نوع معادلات ارائه شده است. ما در این کار جرثقیل حامل کانتینر را با دو روش زمان محدود و نامحدود برای حل معادله­ SDREکنترل می­کنیم.
ابتدا روش حل تکرار معادله­ SDRE، ارائه شده توسط دکتر خالوزاده[۲۶]، که توسط مهندس بیک­زاده درستی آن به اثبات رسیده [۳۰]، را شرح می­دهیم. حسن این روش، در سادگی پیاده­سازی آن است. این روش برای سیستم­های افاین به کار می­رود. روش کار به این صورت است که ابتدا سیستم را بدون ورودی فرض می­کنیم. در نتیجه متغیرهای حالت را تا زمان نهایی، به صورت زیر به­دست می­آوریم:

‏۳‑۳۸

سپس معادله­ SDRE را به کمک متغیرهای حالت بدست آمده از رابطه­ (‏۳‑۳۸)، به صور عقب­گرد حل می­کنیم. در نتیجه تمامی P و  ها در رابطه­ های (‏۳‑۳۵‏) و (۳‑۳۶) بدست می­آیند. لازم به ذکر است که در حل این معادله به صورت عقب­گرد، از روش حل انتگرالی در معادلات ریکاتی تقلید می­کنیم. یعنی در رابطه­ (‏۳‑۳۵‏) و (۳‑۳۶) ، به جای  و  ، به ترتیب  و  را بازنویسی می­کنیم [۳۱]. سپس معادله را بر حسب P(t-1) و  ، به صورت عقب­گرد حل می­کنیم. حال با داشتن Pها، قادر به بدست آوردن سیگنال کنترلی K از طریق رابطه­ (‏۳‑۳۴) خواهیم بود. سپس با توجه به مقادیر بدست آمده و استفاده از آن در رابطه­ (‏۳‑۳۷) ورودی کنترلی بدست می ­آید.
دوباره مراحل گفته شده را تکرار می­کنیم، ولی این بار در رابطه­ (‏۳‑۳۸) از ورودی­های بدست امده از رابطه­ (‏۳‑۳۴)، برای به روز کردن متغیرهای حالت سیستم استفاده می­کنیم. این تکرار را آنقدر ادامه می­کنیم تا تغییرات u قابل چشم­پوشی بشود.
روش حل این معادله در حالت نامحدود به این شکل است که با داشتن x₀، ماتریس­های A(x₀) و B(x₀) را خواهیم داشت و در نتیجه می­توان معادله­ ریکاتی را به صورت یک معادله­ ریکاتی معمولی بر حسب ماتریس­های ثابت A(x₀) و B(x₀) به صورت نامحدود حل کرد. سپس با مقدار P و  و در نتیجه ورودی کنترلی بدست آمده از حل مساله­ی کنترل بهینه خطی(LQR) در این مرحله؛ مقادیر حالت سیستم را به روز نمود. در مرحله­ بعد مساله­ی کنترل بهینه­ خطی را به طریق گفته شده بر حسب ماتریسهای ثابتA(x₁) و B(x₁) حل نموده و این مراحل را در هر زمان تکرار نمود.
کنترل­ کننده و رویت­گر SDRE
در صورت عدم دسترسی به حالات سیستم به رویت­گرها نیاز می­باشد. در طراحی تخمین­گر بهینه باید آن­ها را به صورت دوگان^[۸۴] کنترل­ کننده­ های بهینه در نظر بگیریم [۳۱]. سپس، همانند روش خطی، آن را با کنترل­ کننده ترکیب می­کنیم. تابعی را به صورت ز یر در نظر می­گیریم:

‏۳‑۳۹

حال دوگان آن چه را که برای ورودی بهینه ا نجام دادیم، تکرار می­کنیم. تنها به تر تیب به جای A، B و K از A^T ، C^T و L^T استفاده می­کنیم. بنابراین معادلات SDRE با وجود اغتشاش چنین خواهد شد:

‏۳‑۴۰