(۳-۷) 
برهان: به ازای هر  داریم :

از (۳-۲) و  نشان می‌دهد که:

با انتگرال گیری روی  ، به دست می‌آوریم:

.□
۴) کران پایین : فرض کنیم  ، آن‌گاه
(۳-۸)
برهان : فرض کنیم  که  بزرگ‌ترین t است به طوری که  ؛ با توجه به گزاره ۳-۱-۱- الف) Φ یک مانع خود هماهنگ  است پس این تابع روی Δ خود هماهنگ است. بیضی واحد و بسته دیکن Φ به مرکز  به فضای بسته Δ تعلق دارد (فصل ۲- قسمت ۲) یعنی :

یا

با دوبار انتگرال گیری متوالی از نامساوی فوق داریم:

و با جایگذاری  داریم :

.□
۵) کران بالایی روی نرم محلی مشتق اول: فرض کنیم  . آن‌گاه به ازای هر  داریم:
(۳-۹)
برهان: ]۴[
۶) منحصر به فردی مینیمم مقدار و خاصیت مرکزی: F ناتباهیده است اگر و تنها اگر G شامل هیچ خطی نباشد . اگر G شامل هیچ خطی نباشد آن‌گاه F به مینیمم مقدارش روی intG می‌رسد اگر و تنها اگر G کراندار باشد در این صورت، مینیمم مقدار F (یعنی که مرکز G است) منحصر به فرد است و دارای خاصیت مرکزی زیر است :
بیضی واحد و بسته دیکن F به مرکز درون G است و  بار بزرگ‌تر از مرکز بیضی شاملG است :
(۳-۱۰)
برهان : از فصل ۲- قسمت ۲ می‌دانیم که زیر فضای هر تابع خود هماهنگ نیز زیر فضای بازگشتی دامنه‌اش است :  بنابراین اگر G شامل هیچ خطی نباشد آن‌گاه  پس F ناتباهیده است . به عکس ، اگر G شامل یک خط با جهتh باشد آن‌گاه به ازای هر  داریم  . با توجه به خاصیت نیمه کرانداری :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

که نشان می‌دهد  بنابراین F در راستای جهت h و نقطه ی در  ، ثابت است پس  بنابراین F تباهیده است .
حال فرض می‌کنیم که G شامل هیچ خطی نمی‌باشد . اگر G کراندار باشد آن‌گاه واضح است که F به مینیمم مقدارش روی  می‌رسد (با توجه به دلایل فشردگی) . حال فرض می‌کنیم کهF به مینیمم مقدارش روی  می‌رسد. چون ناتباهیده است مینیمم مقدار  منحصر به فرد است. فرض کنیم  بیضی واحد و بسته دیکن F به مرکز باشد؛ می‌دانیم که  درون G است (فصل ۲-قسمت۲) ، ثابت می‌کنیم که  بار بزرگ‌تر از مرکز بیضی  است،که شامل G است. این نتایج از کرانداری G و خاصیت مرکزی است و در نتیجه اثبات کامل خواهد شد.
لم ۳-۲-۱ : فرض کنیم  و h یک جهت دلخواه با  باشد به طوری که  آن‌گاه نقطه  خارج از intG است.
توجه کنید که لم ۳-۲-۱ نشان می‌دهد که  ، چون وقتی که ، مینیمم مقدار F است پس  ، به ازای هر h و فرض لم برای هر h با  معتبر است.
اثبات لم : فرض کنیم:

از خود هماهنگی F داریم :

با انتگرال گیری از نامساوی فوق داریم:

با توجه به  :

که با انتگرال گیری از نامساوی فوق می رسیم به :
(۳-۱۱)
حال فرض می‌کنیم  باشد به طوری که  آن‌گاه از رابطه نیمه کرانداری
(۳-۶) داریم :

با ترکیب نامساوی‌ها ، می‌رسیم به :
(۳-۱۲)
قرار می‌دهیم  و به کران بالا روی t می‌رسیم بنابراین  و (۳-۱۲) برای  قابل قبول است . اگر  باشد آن‌گاه (۳-۱۲) برای  و  قابل قبول است و به دست می‌آوریم :
(۳-۱۳)
نامساوی فوق برای  نیز معتبر است . بنابراین (۳-۱۳) همواره برقرار است . با توجه به ساختار ،  نقطه درونی G نیست در نتیجه  نیز نقطه درونیG نیست .□
نتیجه ۳-۲-۱ : فرض کنیم h یک جهت بازگشتی G باشد ، یعنی به ازای هر  باشد . آن‌گاه F در جهت h غیرصعودی است و نامساوی زیر برقرار است:
(۳-۱۴)
برهان : فرض می‌کنیم  ، چون h یک جهت بازگشتی است ، به ازای هر  و (۲) نشان می‌دهد که به ازای هر  :

چون  و F در جهت h و در هر نقطه  ناصعودی است . برای اثبات (۳-۱۴) تابع f(t) از F روی تقاطع خط  با G را در نظر بگیرید . چون h یک جهت بازگشتی G است ، دامنه f به صورت  است . با توجه به گزاره ۳-۱-۱- قسمت (الف) f مانع خود هماهنگ برای ∆ است . ممکن است f تباهیده باشد  . زیرا f تابع یک متغیره است و این در صورتی است که  (قسمت ۳- فصل ۲) . بنابراین  ؛ در این مورد (۳-۱۴) یک نتیجه سریع از اثبات نامنفی سمت چپ رابطه است . حال فرض کنیم fناتباهیده است با توجه به (۶)، f به مینیمم خودش روی ∆ نمی‌رسد (چونf یک مانع خود هماهنگ ناتباهیده برای یک دامنه بی‌کران است) . و از ۹- فصل ۲ به دست می‌آوریم که به ازای هر  داریم  . بنابراین

که با ترکیب اثبات نامثبتی  رابطه (۳-۱۴) نتیجه می‌شود . □