بر پایه فرضهای میندلین - رایزنر، تغییر مکان هر نقطه از مقطع را می­توان بوسیله رابطه زیر با تغییر مکان­های سطح میانی مرتبط ساخت.
(۳-۳)
که  ،  و  مولفه های جابجایی عمومی می باشند درحالیکه  ،  و  به ترتیب مولفه های جابجایی صفحه میانی در راستاهای x، y، z و  و  چرخش نرمال عرضی حول x و y می باشند و برای ورق که ضخامت آن نسبت به ابعاد آن به اندازه کافی کوچک باشد باید به شیب خیز عرضی مربوطه میل کند:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳-۴)  و
دورانهای مقطع پیشنهادی توسط تئوری میندلین – رایزنر در شکل (۱-۳) با دوران­ مقطع پیشنهادی تئوری کلاسیک مقایسه شده است.
شکل ‏۰‑۱ مقایسه زاویه دوران تئوری مرتبه اول و کلاسیک
با جایگذاری روابط جابجایی (۳-۳) در معادلات کرنش- جابجایی غیر خطی فون کارمن^[۵۵]، روابط (۳-۲)، روابط (۳-۵) بدست می­­آیند.
(۳-۵)

که به شکل برداری داریم:
(۳-۶)
مدلسازی المان محدود
المانهای سرندیپیتی^[۵۶]
برای استفاده از توابع میانیابی لاگرانژ می توان از میانیابیهای خطی یا مرتبه بالا استفاده کرد. از آنجایی که میانیابیهای مرتبه پایین با قفل شدگی تنش برشی^[۵۷] دچار مشکل می شوند انتخاب المانهای مربعی هشت یانه گره ای می تواند مفید باشد، با آنکه توابع میانیابی المان سرندیپیتی به دلیل حذف ترم مرتبه چهارم کامل نیستند ولی المانهای سرندیپیتی اثبات نموده اند که در اغلب کاربردهای عملی بسیار موثر بوده ­اند ]۶۸[. بنابراین در این تحقیق از المان مربعی هشت گره ای (سرندیپیتی) استفاده شده است. در واقع المانهای سرندیپیتی المانهایی از خانواده المانهای لاگرانژی هستند که نقطه گره داخلی ندارند و بنابراین نقاط گره کمتری نسبت به المانهای لاگرانژ هم مرتبه دارند (شکل ۳-۲). استفاده از المانهای سرندیپیتی ضمن برخورداری از دقت المانهای چهارگوش با توجه به داشتن تعداد جملات کمتر تابع تقریب ، به محاسبات ریاضی کمتری جهت دسترسی به پاسخها نیاز دارد. توابع شکل المان سرندیپیتی مرتبه دوم در معادله (۳-۷) آورده شده است. شکل (۳-۳) نحوه شماره گذاری عمومی ورق را نشان می دهد.
(۳-۷)
شکل ‏۰‑۲ المان سرندیپیتی – شماره گذاری محلی
شکل ‏۰‑۳ شماره گذاری عمومی
معادلات حرکت
معادلات حرکت با فرض آنکه بارهای خارجی اعمال شده برابر با مجموع کار جذب شده توسط اینرسی میرایی و نیروهای داخلی برای هر جابجایی مجازی باشد (که برای هر حرکت کوچک فرض شده سازگار بوده و شرایط مرزی را ارضا می کند) برای حجم V و سطح S به شکل زیر می باشد.
(۳-۸)
که {F} و {Ф} نیروهای جرمی^[۵۸] و سطحی^[۵۹] می باشند. و نیروهای متمرکز و جابجاییهای مجازی مربوطه در n نقطه می باشند، ρ بیانگر چگالی جرمی، c پارامتر میرایی و و جابجاییهای مجازی و کرنشهای آن می باشند.
و داریم:
(۳-۹)
توابع شکل توابع مختصات هستند درحالیکه درجات آزادی گره ای توابع زمانی هستند. معادله حرکت به شکل زیر در می آید:
(۳-۱۰)
دو انتگرال اول در معادله بالا ماتریسهای جرم و میرایی را تشکیل می دهند:
(۳-۱۱)
اگربردار نیروهای داخلی را به عنوان نیروهای (و همچنین اگر درجات آزادی شامل چرخش نیز باشد ممانهای) اعمالی به المان در اثر مقاومت گره ها در برابر تنشهای موجود در المان در نظر بگیریم داریم:
(۳-۱۲)
به طور مشابه نیروها (یا ممانهای) اعمالی به گره ها در اثر نیروهای خارجی می باشد:
(۳-۱۳)
صورتی که معادله حرکت برای دلخواه برقرار باشد داریم:
(۳-۱۴)
در صورتیکه مواد الاستیک خطی باشند داریم:
(۳-۱۵)
لازم به ذکر است که در این تحقیق از اثر میرایی سازه ای یعنی ماتریس [C] صرف نظر شده است.
شرایط مرزی
برای اعمال شرط های مرزی می توان از روش های مختلفی استفاده نمود که در این تحقیق از روش پنالتی^[۶۰] استفاده شده است. شرط مرزی SSSS را به شکل زیر تعریف می کنیم:
(۳-۱۶)
و برای اعمال شرط مرزی CCCC تمامی درجات آزادی در نقاط گره مرزی برابر با صفر می باشد:
(۳-۱۷)
فصل چهارم
روش های حل عددی معادلات حاکم بر رفتار استاتیکی و دینامیکی ورقهای حافظه دار
حل زمانی
در این بخش روش های معمول حل زمانی معادلات [K]{D}={R} را برای درجات آزادی بردار {D} زمانیکه [K] تابع {D} می باشد را به طور خلاصه بیان شده است ]۶۹[. دلیل غیر خطی بودن در این قسمت اهمیتی ندارد. به منظور نشان دادن روش های مورد نظر به شکل نمودارهای دو بعدی از پاسخ و نیرو، ما از روش های حل برای یک مورد خاص معادله غیر خطی ساده f(u,x)=0 که u=u(x) می باشد استفاده شده است. یک مساله فیزیکی که منجر به چنین معادله ای می شود می تواند اعمال نیرو به یک فنر غیر خطی باشد، شکل ۴-۱ a. ارتباط بین نیروی P و جابجایی u به شکل زیر است.
(۴-۱) (k₀+k_N)u=P یا ku=P
که داریم : k_N=k_N(u)
برای آنکه این مساله تک درجه آزادی به یک مساله واقعی چند درجه آزادی [K]{D}={R} قابل گسترش باشد (بردار بردار کلی جابجایی u می باشد)، فرض می شود که k، و بنابراین نیروی فنر ku، می توانند برای هر مقدار از u محاسبه شوند ولی زمانیکه P از قبل تعیین شده است این معادله نمی تواند به طور صریح برای u حل شوند. u با بهره گرفتن از یک سری از مراحل خطی بدست می آید که هر یک به یکی از نیروهای تغییر یافته مرتبط است. در روند محاسبات ممکن است از سختی تانژانت استفاده شود که به شکل k_t=dP/du تعریف می شود و بیانگر شیب نمودار P در برابر u می باشد.