بایستی چک کنیم هنگامی که زمان به سمت بی نهایت میل می کند عبارت  غالب نباشد. ابتدا فرض می کنیم جهان فقط تحت سلطه ی تابش است و میدان نرده ای وجود ندارد در این صورت داریم:

هنامیکه میدان نرده ای را نیز در نظر می گیریم با بدست آودرن  داریم:

وقتی که  خیلی زیاد می شود عبارت  تقریب نزدیکی از چگالی تابشی می شود . اگر فرض کنیم  برای چگالی مادی داریم

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

که به دلیل تغییرات α از مرتبه ی عبارت چگالی تابشی است، پس فرض  هنوز تقریب خوبی است  .
یک ثابت جبری در معادله ی فریدمن وجود دارد اگر در این معادله به جای  قرار دهیم داریم:

اگر  است در این صورت داریم  :

دوباره رفتار مجانبی معادله های ۳-۶۵ و ۳-۶۶ به حل دقیق معادله ی ۳-۲۴ نزدیک می شود این مطلب توسط حل های عددی معادله ها ی ۳-۲۶ و ۳-۳۱ در مرحله ی تابش را تایید می کند. این حل عددی برای مقادیر  و  و همان مقادیر برای  در شکل ۳-۲ رسم شده است. در این شکل مشاهده می کنیم که هر چه مقدار اولیه ی  بیشتر از  باشد  ثابت می ماند تا زمانیکه  به مقدار جواب پیش بینی شده در بالا برسد.

شکل ۳-۲حل عددی برای  و  همان مقادیر برای

۳-۴ دوره ی سلطه ی خمیدگی^[۱۰]

اگر عالم باز و تحت سلطه ی یک خمیدگی منفی خاص باشد به طوری که از جمله های معادله ی ۳-۲۴در مقابل  (ثابت خمیدگی) چشم پوشی کنیم در این صورت معادله به شکل زیر در می آید.

دوباره بایستی معادله ی ۳-۳۱را برای این حالت حل کنیم. با توجه به ۳-۷۶  بایستی ثابت باشد، بنابراین  نیز بایستی ثابت باشد پس به دنبال جوابی به شکل زیر هستیم.

را به این دلیل اضافه کرده ایم تا پایداری جواب را برای مقادیر کوچک  بررسی کنیم.
برای مقادیر کوچک  داریم:
اگر تغییر متغیر  را در نظر بگیریم داریم:

برای حل این معادله ابتدا جواب معادله کمکی زیر را بدست می آوریم:

جواب این معادله به شکل زیراست.

که در آن  یک مقدار ثابت می باشد و چون  مثبت است قسمت حقیقی آن از معادله حذف می شود.

که  ومقدار ثابتی است. در این مورد نیز بایستی عبارت  را برای عصر خمیدگی چک کنیم تا معلوم شود که این عبارت غالب نیست. برای  در زمان های پایانی (  ) متناسب با  تغییر می کند در صورتیکه برای سلطه ی خمیدگی در زمان های پایانی به صورت  است. می بینیم که  سریعتر از  افت می کند به خاطر اینکه  است . پس تقریبی که استفاده کرده ایم خوب است. ما نشان دادیم در جهان های باز فریدمن وقتی جهان تحت یک سلطه ی خمیدگی خاص باشد α به سرعت به یک مقدار ثابت نزدیک می شود. آهنگ نزدیک شدن به مقدار ثابت به کمک چگالی ماده از طریق  کنترل می شود. این رفتار دوباره به کمک راه حل های عددی که در شکل۳-۳ رسم شده است تایید می شود

شکل ۳-۳نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه خمیدگی جایی که تغییرات α به پایان می رسد نشان می دهد. در نمودار پایانی تابش را با نقطه چین ، ماده را با خط پر و خمیدگی را با خط چین نشان داده ایم  .

۳-۵ عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسی^[۱۱]

در این حالت ثابت کیهانشناسی بر تمام جمله های سمت راست معادله ی۳-۲۴ غالب است پس می توانیم بنویسیم

در رابطه ۳-۹۰  حال با جایگذاری معادله ی ۳-۹۰در معادله ی ۳-۳۱ داریم:

که جواب معادله  برابر است با:

که در آن  و  مقادیر ثابتی هستند. معادله ی ۳-۹۲ نشان می دهد که مقدار  (چگالی میدان نرده ای) وقتی زمان به اندازه ی کافی در عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسی افزایش می یابد بسیار ناچیز است. ثابت ساختار ریز در این دوره به سرعت و با توان نمایی به مقدار ثابت نزدیک می شود.

شکل ۳-۴ نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه ثابت کیهانشناسی جایی که تغییرات α به پایان می رسد را نشان می دهد. در نموداردوم تابش را با نقطه چین، ماده را با خط پر و سلطه ثابت کیهانشناسی را با خط چین نشان داده ایم  .

۳-۶ جهان های تورمی^[۱۲]

رفتاری که برای جهان های تحت سلطه ی  در بحث بالا پیدا شد ما را قادر به درک این مطلب می کند که جهان چگونه از طریق یک عصر تورم دسیتری مراحل تغییر α کیهانی را طی کرده است. واضح است که این محاسبات را برای هر کیهانشناسی که تحت قاعده ی تورم توانی باشد می توان به کار برد. برای بررسی تغییر α فرض می کنیم که مدل فریدمن شامل یک گاز کامل با معادله ی حالت  ،  است و ضریب مقیاس به شکل  افزایش می یابد. در این صورت چون  غالب است می توان نوشت