معادله لورنتز:
در این معادلات t زمان، v سرعت، P فشار ، q چگالی بار الکتریکی، j چگالی جریان الکتریکی، ρ چگالی، ضریب رسانندگی، B میدان مغناطیسی، E میدان الکتریکی، ضریب تراوایی خلاء، C سرعت نور و نیروی لورنتز میباشد. ضمنا میدانیم که که در آن ضریب گذردهی خلاء است.
قبل از تلفیق معادلات یک سادهسازی مهم در معادله آمپر ضروری است. طبق این معادله وجود چگالی جریان j یا تحول زمانی E منجر به پایداری میدان مغناطیسی پیچشی میگردد. حال به جمله دوم توجه کنید. اگر میدان الکتریکی مقدار مشخصه داشته باشد و تحول زمانی آن، در مدت مشخصه رخ دهد داریم:
از طرف دیگر از معادله فاراده بر حسب مقادیر مشخصه میتوان نوشت:
از آنجایی که در MHD میدان الکتریکی صرفا می تواند از طریق القای فاراده پدید آید و میدان الکتریکی خارجی یا ناشی از چگالی بار خالص، نداریم پس ظاهر شده در معادله آمپر همان ناشی از معادله فاراده است و میتوان آن را جایگذاری کرد:
دلالت بر سرعت مشخصه بردار دارد پس نهایتا میرسیم به:
به نتیجه جالبی دست یافتیم. جمله فوق فقط وقتی مقدار قابل توجهی خواهد داشت که مقدار قابل مقایسه با سرعت نور باشد. در بسیاری از پدیدههایی که در چارچوب نظریه MHD مورد مطالعه قرار میگیرند. از جمله پدیده های جوی خورشید بندرت با چنین سرعتی مواجه میشویم و بیشترین سرعتهای گزارش شده هم به یک هزارم سرعت نور نمیرسد بنابراین در اینجا فرض غیر نسبیتی بودن سرعت سیال را در MHD وارد میکنیم که فرض اساسی دوم در این نظریه محسوب میگردد. در نتیجه معادلات آمپر به شکل سادهتری در خواهد آمد:
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
حال میتوان به تلفیق معادلات پرداخت. معادلات پایستگی بدون تغییر باقی خواهند ماند اما سه معادله دیگر قابل ترکیبند:
J =
E=
= η
را ضریب پهن روی یا پخش[۴۳] مینامند و با η نمایش می دهند. رابطه فوق در واقع تعریف میدان الکتریکی در نظریه MHD است. بر خلاف الکترودینامیک که غالبا میدان الکتریکی بر میدان مغناطیسی تقدم دارد، اینجا میدان الکتریکی است که از میدان مغناطیسی ناشی می شود. اکنون E را در معادله فاراده جایگذاری میکنیم:
با کمک این اتحاد:
B
وبا استفاده از معادله گاؤس برای میدان مغناطیسی داریم:
معادله فوق معادله القا است که تحول زمانی میدان مغناطیسی را تعیین می کند.
بدین ترتیب تا بدین جا ۳ معادله برای تک سیال رسانا بدست آوردهایم:
همانطور که گتیم ما انتظار داریم که معادلات بر حسب چهار کمیت اصلی MHD باشند ملاحظه میکنیم که معادله پایستگی جرم و معادله القا[۴۴] این انتظار را براورده کرده اند. اما معادله پایستگی تکانه فعلا این طور نیست.
معادلات MHD برای پلاسمای دو سیاله به شکل زیر است:
سه معادله فوق را معادلات اصلی مینامیم. دقت کنید که مطابق انتظار ما تنها متغیرهای B وv وρ وp در این معادلات ظاهر شده اند.
۲-۳ حل دستگاه معادلات MHD
سه معادله مربوط به سیال شناور، اگرچه خواسته های ما را براورده می کنند اما قابل حل نیستند زیرا در این سه معادله چهار متغیر ظاهر شده است و لذا دستگاه معادلات بسته نیست. این امر اساسا از کنار گذاشتن معادله پایستگی انرژی ناشی می شود. معادله انرژی دارای پیچیدگیهاییست که پرداختن به آن را دشوار می کند. از سوی دیگر از نظر ریاضی ما صرفا به یک معادله برای بستن دستگاه نیاز داریم و ضرورتی برای استفاده از معادله انرژی وجود ندارد. لذا کافیست یک معادله دیگر که البته فقط بر حسب چهار متغیر اصلی است را وارد دستگاه کنیم. غالبا معادله حالت مناسب ترین گزینه برای ما است. این معادله رابطه بین فشار و چگالی را بیان می کند:
میدانیم که نسبت گرمای ویژه در فشار ثابت به گرمای ویژه در حجم ثابت است. در شرایط فیزیکی حاکم بر پلاسمای جو خورشید، معادله حالت گاز کامل می تواند مقصود ما را براورده نماید. به یاد داریم مقدار برای گاز کامل است.
۲-۴ نگاهی دقیقتر به معادله القا
معادله القا تحول زمانی میدان مغناطیسی را توصیف می کند. این تحول به دو نحو اتفاق میافتد که هر کدام در یکی از جملات معادله القا ظاهر شده است. دراینجا سعی میکنیم درک اولیهای از مفهوم این دو جمله به دست آوریم.
در مورد اولین نکتهای که جلب توجه می کند ظاهر شدن v درآن است. معنی حضور v آن است که جمله مرد بحث تحول میدان مغناطیسی در اثر حرکت پلاسما را توصیف می کند. نکتهی دوم این است که اگر پلاسما به موازات میدان مغناطیسی حرکت کند جمله فوق صفر خواهد شد. یعنی حرکت پلاسما وقتی میدان را دچار تحول می کند که راستای حرکت با میدان زاویه داشته باشد. میتوان اینگونه تجسم کرد که پلاسما با خطوط میدان برخورد می کند و آنها را متحول مینماید. میتوان نشان داد این تحول به نحوی است که گویی پلاسما خطوط میدان را با خود میکشد، شبیه یک ریسمان که در معرض جریان یک سیال منحرف میگردد. جمله به دلیل همین تحول شبیه به کشیده شدن میدان به همراه پلاسما، هم روی نامگذاری شده است.
در مورد جمله ، ابتدا توجه کنیم که η همانطور که قبلا تعریف شد یک ضریب است که با گذردهی و رسانندگی[۴۵] محیط نسبت وارون دارد. در کاربردهای اخترفیزیکی گذردهی را با تقریب بالایی میتوان همان گذردهی خلاء در نظر گرفت. بنابراین عملا η به رسانندگی پلاسما مربوط می شود. هرچه رسانندگی پلاسما کمتر باشد تحول زمانی B در اثر این جمله بیشتر خواهد بود. رسانندگی پلاسما نیز به نوبه خود مشخصاتی مانند چگالی و دما و … بخصوص درمورد الکترونها، بستگی دارد. بنابراین η یک ضریب است که به خصوصیات فیزیکی پلاسما مربوط می شود و نقش آن تعیین میزان اثرگذاری در تحول زمانی میدان مغناطیسی میباشد.
اما نقش اصلی در این جمله را ایفا می کند. میدانیم اساسا در مورد یک منحنی یا رویه با تقعر آن در ارتباط است. یک خط راست یا یک صفحه تخت فاقد تقعر بوده و اگر بر تابع چنین منحنی یا رویهای اعمال شود حاصل صفر خواهد بود. توجه کنید خط راست یا رویه تخت در واقع دلالت بر تابعی با تغییرات مکانی یکنواخت دارد. بنابراین وقتی غیر صفر است که روند تغییرات مکانی ثابت نباشد. حال به بحث خود بازگردیم. جمله دلالت دارد بر اینکه اگر میدان مغناطیسی در ناحیهای از فضا دچار تغییرات نایکنواختی باشد با گذر زمان دچار تحول خواهد شد. میتوان نشان داد که این تحول به گونه ای است که نایکنواختی تغییرات میدان را تعدیل مینماید. درواقع اگر این تحول ادامه یابد و مختل نشود پس از مدتی میدان مغناطیسی به حالتی خواهد رسید که تغییرات آن کاملا یکنواخت است و شیب ثابت دارد. البته در صورتی که هیچگونه شرایط مرزی در میدان حاکم نباشد، این روند نهایتا به یک میدان مغناطیسی یکنواخت با مقدار ثابت و شیب صفر منجر خواهد شد.
برای درک روشنتر این موضوع میتوانید دو معادله زیر را مقایسه کنید:
معادله دوم معادله آشنای پخش حرارتی بوده و در آن رسانندگی حرارتی[۴۶] است. یادآوری این معادله برای تجسم بهتر مسئله مفید خواهد بود. طبق معادله پخش حرارتی[۴۷] میدانیم اگر فرضا دو سر یک میله به طول l در دمای ثابت و نگه داشته شود پس از گذشت زمان کافی تغییرات دما در طول میله یکنواخت و دارای شیب) خواهد بود، فارغ از آن که در حالت اولیه تغییرات دما در طول میله چگونه بوده است. بعلاوه اگر شرایط مرزی برداشته شود و دمای دو سر میله هم بتواند تغییر کند، معادله پخش میگوید که بعد از گذشت مدتی دما در سراسر میله یکسان خواهد بود.
این رفتار را میدان مغناطیسی نیز عینا بروز میدهد، گویی که میدان از نواحی قویتر به نواحی ضعیفتر پخش می شود. از دیدگاه خطوط میدان چنین به نظر میرسد که خطوط میخواهند فواصل خود را به نحو خاصی آرایش دهند. در حضور شرایط مرزی پس از گذشت زمان کافی تغییر فاصله خطوط روند یکنواختی خواهد یافت. در نبود شرایط مرزی خطوط تمایل دارند فواصل یکسان از هم اختیار کنند و تا حد ممکن از هم دور شوند. این رفتار را اصطلاحا پهنروی نامیدهاند که البته به دلیل شباهت آن با پخش حرارتی، پخش مغناطیسی نیز نامیده می شود.
۲-۵ جمع بندی معادلات MHD
در نظریه MHD چهار معادله اصلی داریم:
معادله پیوستگی ( پایستگی حرکت )
معادله حرکت ( پایستگی تکانه )
ρ
معادله القا
معادله حالت
بعلاوه به طور ضمنی نیز این سه معادله برقرارند:
که از آنها میتوان به عنوان معادلات قید استفاده کرد.
معادله آخر نتیجه ضمنی فرض اساسی دوم MHD میباشد و به سادگی قابل اثبات است:
میدان الکتریکی و جریان الکتریکی بر اساس متغیرهای اصلی به این صورت تعریف میشوند:
E = η
ضمنا در روابط فوق و v صرفا به چگالی و سرعت حرکت یونها دلالت دارد اما p فشار الکترونها را هم شامل می شود.
۲-۶MHD آرمانی
وقتی عدد رینولدز مغناطیسی پلاسما بسیار بزرگ باشد، پهنروی سهم بسیار ناچیزی نسبت به همروی در تحول زمانی میدان مغناطیسی ایفا خواهد نمود. پس میتوان گفت معادله القا به این شکل خلاصه می شود:
ضمنا درمورد میدان مغناطیسی نیز جملهη قابل چشمپوشی خواهد بود:
E= -
پلاسمایی که چنین شرایطی داشته باشد اصطلاحا پلاسمای آرمانی میگوییم و معادلات حاکم بر آن را که با فرض ۰ = η از معادلات MHD بدست می آید معادلات MHD آرمانی را IMHD مینامیم. همانطور که قبلا اشاره کردیم در چنین شرایطی میدان مغناطیسی با گذر زمان دچار پهنروی نخواهد شد. این یعنی میدان مغناطیسی در پلاسما خواهد ماند. به این حالت محبوس ماندن میدان در پلاسما اصطلاحا انجماد میدان در پلاسما گفته می شود. توجه کنید همانطور که میدان پخش نمی شود خلاف آن نیز طبعا اتفاق نمیافتد یعنی میدان جمع و متمرکز نمی شود چرا که از نظر ریاضی متمرکز شدن میدان نیز نیازمند η غیرصفر میباشد.
اکنون توجه کنید که اگر پلاسما گسترش یابد و میدان مغناطیسی بدون تغییر بماند درست مثل آن است که میدان مغناطیسی نسبت به پلاسما جمع شده و تمرکز یافته است. به همین ترتیب اگر پلاسما متمرکز شود و میدان تغییر نکند، عین آن است که میدان نسبت به پلاسما پخش شده باشد. از آنجا که در وضعیت مورد بررسی ما پخش و جمع شدن میدان ناممکن است، میتوان نتیجه گرفت که میدان باید الزاما همراه با پلاسما حرکت کند و به همراه آن گسترش یا تمرکز یابد. دقت کنید که منظور از حرکت کردن میدان با پلاسما به بیان بهتر پخش و جمع شدن آن میدان بهمراه پلاسما است. به عبارت دیگر میدان و پلاسما نسبت به هم فاقد تغییرند و هماهنگ باهم تحول مییابند. اگر خطوط میدان را مجسم کنیم میتوان گفت منظور از انجماد میدان در پلاسما آن است که خطوط میدان همراه با گسترش یا متمرکز شدن پلاسما، از هم دور یا به هم نزدیک میشوند. بیان رسمیتر این موضوع به شکل زیر است:
شار مغناطیسی گذرنده از میان هر منحنی بستهای که همراه پلاسما حرکت می کند و به عبارت دیگر به یک عنصر فرضی از سیال متصل است با گذشت زمان تغییری نمیکند.
این قضیه به قضیه هانز آلفون[۴۸] به نام مکتشف آن، مشهور است. اثبات رسمی این قضیه با به دست آوردن مشتق زمانی شار مغناطیسی بر اساس معادله القا انجامپذیر است. در اینجا سعی میکنیم یک نتیجه گیری مفهومی از معادله هم روی داشته باشیم:
به کمک اتحاد زیر:
میدانیم میدان مغناطیسی واگرا یا همگرا نیست:
