(۲-۷) 
به طوریکه  می باشد. اگر  باشد، به ازاء هر i بزرگتر از  نزولی خواهد بود. بنابراین اگر  باشد فرایند GARCH(p,q) را می توان با هر درجه ای از دقت از طریق یک فرایند مانای ARCH(q)‌ برای هر مقداری از q که به حد کافی بزرگ باشد تقریب زد.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

شکل دیگری از فرایند GARCH(p,q) را می توان به صورت زیر نشان داد:
(۲-۸) 
و
(۲-۹) 
به طوریکه:

باید توجه داشت که طبق تعریف، میانگین  صفر و فاقد همبستگی پیاپی می باشد. بنابراین فرایند GARCH(p,q) را می توان به عنوان یک فرایند میانگین متحرک اتورگرسیو بر روی  به ترتیب با مرتبه های  و p تفسیر نمود. ( فرانسیس و دیجک، ۱۹۹۶، ص۳۰۷-۳۲۷)

۲-۴-۲٫ فرایند GARCH(1,1)

ساده ترین و در عین حال رایج ترین فرایند گارچ فرایند GARCH(1,1) می باشد. ساختار این فرایند به صورت زیر می باشد:
(۲-۱۰) 
 شرط مانایی مدل می باشد و در حالت کلی داریم:
قضیه: برای فرایند GARCH(1,1) که در روابط (۲-۳)و (۲-۸) مطرح گردیده است، شرط لازم و کافی برای وجود گشتاور مرتبه ۲m ام عبارت است از:
(۲-۱۱) 
به طوریکه:

گشتاور مرتبه ۲m ام را می توان از طریق فرمول بازگشتی به شکل زیر بیان کرد:
 (۲-۱۲)
به دلیل وجود تقارن، اگر گشتاور مرتبه ۲m ام وجود داشته باشد در این صورت  خواهد بود.
به ازاء  رابطه (۲-۱۲) به شرط  در فرایند ARCH(1) تبدیل می شود. بنابراین اگر در فرایند ARCH(1) ،  باشد در این صورت گشتاور مرتبه ۲m ام وجود نخواهد داشت. در حالیکه حتی اگر در فرایند GARCH(1,1) ،  باشد گشتاور مرتبه ۲m‌ام ممکن است وجود داشته باشد که دلیل این امر وجود حافظه بلندمدت تر در فرایند می باشد.
در فرایند GARCH(1,1) وقفه میانگین در معادله واریانس شرطی به صورت زیر تعریف می شود:
(۲-۱۳) 
و وقفه میانه عبارت برابر خواهد بود با:

به طوریکه  می باشد و  ها در رابطه (۲-۷) تعریف شده اند.
اگر  باشد، گشتاور مرتبه چهارم نیز وجود خواهد داشت. در این صورت طبق قضیه داریم:


و ضریب کشیدگی برابر خواهد بود با:

که طبق فرض، بزرگتر از صفر می باشد. بنابراین فرایند GARCH(1,1) ، لپتوکورتیک می باشد که این ویژگی در فرایند ARCH(1) نیز وجود دارد. ( فرانسیس و دیجک، ۱۹۹۶، ص۳۰۷-۳۲۷)

۲-۴-۳٫ آزمون مدل گارچ

مدل رگرسیونی GARCH(p,q) که به صورت زیر تعریف شده است را در نظر بگیرید:
(۲-۱۴) 


بر اساس نتایج انگل و کرافت (۱۹۸۳) اگر معادله واریانس شرطی را قسمت کنیم خواهیم داشت:
(۲-۱۵) 
در این صورت آماره آزمون ضریب لاگرانژ برای فرض  به صورت زیر خواهد بود:
(۲-۱۶) 
به طوریکه:


که هر دو فرض  ارزیابی می شوند. هنگامیکه فرض  درست باشد  به صورت مجانبی دارای توزیع  با r درجه آزادی – تعداد عناصر موجود در  - خواهد بود.